【等差数列求和公式】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差为一个常数。等差数列的求和是数列学习中的重要内容之一，掌握其求和公式有助于快速计算数列的总和。
等差数列的求和公式如下：
$$
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ n $ 是项数。
也可以使用另一种形式表达：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ d $ 是公差（即相邻两项之差）。
等差数列求和公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 基本求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 适用于已知首项和末项的情况 |
| 另一种求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 适用于已知首项和公差的情况 |
实例分析
假设有一个等差数列：3, 7, 11, 15, 19
- 首项 $ a_1 = 3 $
- 公差 $ d = 4 $
- 项数 $ n = 5 $
使用第二种公式计算总和：
$$
S_5 = \frac{5}{2}[2 \times 3 + (5 - 1) \times 4] = \frac{5}{2}[6 + 16] = \frac{5}{2} \times 22 = 55
$$
验证结果：
$$
3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55
$$
总结
等差数列的求和公式是解决数列求和问题的重要工具，灵活运用两种公式可以适应不同的已知条件。掌握这些公式不仅能提高解题效率，还能增强对数列规律的理解。