【等比数列的通项公式】在数学中，数列是一种按一定顺序排列的数的集合。其中，等比数列是一种特殊的数列，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，这个常数称为“公比”。等比数列在实际问题中应用广泛，如金融计算、几何增长、人口模型等。
一、等比数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比值都是同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
- 公比（r）：等比数列中相邻两项的比值，记作 r。
- 首项（a₁）：数列的第一个数，也称为首项。
二、等比数列的通项公式
等比数列的第 n 项可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $ 是第 n 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ r $ 是公比；
- $ n $ 是项数。
三、通项公式的应用举例
| 项数 (n) | 首项 (a₁) | 公比 (r) | 第n项 (aₙ) 计算式 | 第n项 (aₙ) |
| 1 | 3 | 2 | $ 3 \times 2^{0} $ | 3 |
| 2 | 3 | 2 | $ 3 \times 2^{1} $ | 6 |
| 3 | 3 | 2 | $ 3 \times 2^{2} $ | 12 |
| 4 | 3 | 2 | $ 3 \times 2^{3} $ | 24 |
| 5 | 3 | 2 | $ 3 \times 2^{4} $ | 48 |
四、总结
等比数列的通项公式是理解等比数列性质和解决相关问题的关键工具。通过掌握该公式，可以快速求出数列中的任意一项，而无需逐项列出整个数列。同时，理解公比的意义有助于分析数列的增长趋势，例如当公比大于1时，数列呈指数增长；当公比介于0和1之间时，数列则逐渐趋近于零。
关键词：等比数列、通项公式、公比、首项、数列、数学应用