【概率公式大全】在数学与统计学中，概率论是研究随机事件发生可能性的学科。掌握常见的概率公式对于理解和分析随机现象至关重要。本文将总结常见的概率公式，并以表格形式清晰展示，帮助读者快速查阅和理解。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 随机事件 | 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 |
| 样本空间 | 所有可能结果的集合，记作 $ S $。 |
| 事件 | 样本空间的子集，记作 $ A, B, C $ 等。 |
| 概率 | 事件发生的可能性大小，记作 $ P(A) $，范围为 $ 0 \leq P(A) \leq 1 $。 |
二、基本概率公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | |||
| 古典概率 | $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ | 若样本空间中的每个结果出现的可能性相同。 | |||
| 加法公式（互斥事件） | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $ | 当 $ A $ 与 $ B $ 互斥时成立。 | |||
| 加法公式（一般情况） | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 适用于任意两个事件。 | |||
| 互补事件 | $ P(A^c) = 1 - P(A) $ | 事件 $ A $ 不发生的概率。 | |||
| 条件概率 | $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $ | 在 $ B $ 发生的前提下，$ A $ 发生的概率。 | ||
| 乘法公式 | $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A) $ | 用于计算两个事件同时发生的概率。 | ||
| 独立事件 | $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $ | 若 $ A $ 与 $ B $ 相互独立。 | |||
| 全概率公式 | $ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A | B_i) $ | 当 $ B_1, B_2, ..., B_n $ 是一个完备事件组时。 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(B_i | A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A | B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A | B_j)} $ | 用于在已知结果下反推原因的概率。 |
三、常见分布的概率公式
| 分布类型 | 概率质量函数或密度函数 | 期望 | 方差 |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $（在区间 $ [a,b] $ 上） | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、期望与方差公式
| 概念 | 公式 |
| 数学期望（离散型） | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i) $ |
| 数学期望（连续型） | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ |
| 方差 | $ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ |
| 协方差 | $ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) $ |
| 相关系数 | $ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X) Var(Y)}} $ |
五、总结
概率公式是统计分析和随机建模的基础工具，涵盖从基础事件概率到复杂分布模型的多个层面。掌握这些公式不仅有助于理解概率的本质，还能在实际问题中进行科学预测和决策分析。通过表格形式的整理，可以更直观地对比不同公式的应用场景与计算方式，提升学习效率。
希望本文能成为你学习概率知识的实用参考手册。