【向量的叉乘公式】在三维空间中，向量的叉乘（又称矢量积）是一种重要的向量运算方式，常用于计算两个向量之间的垂直方向、面积以及物理中的力矩等问题。叉乘的结果是一个新的向量，其方向与原两个向量所构成的平面垂直，并遵循右手定则。
以下是关于向量叉乘的基本公式及其相关性质的总结：
一、叉乘的基本定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉乘结果为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
即：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
二、叉乘的性质总结
| 属性 | 描述 | ||||||
| 结果类型 | 向量（与原两向量垂直） | ||||||
| 模长 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$，其中θ是两向量夹角 | |
| 方向 | 垂直于a和b所在的平面，符合右手螺旋法则 | ||||||
| 反交换律 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 与零向量的关系 | 若$\mathbf{a} = \mathbf{0}$或$\mathbf{b} = \mathbf{0}$，则$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ |
三、叉乘的应用场景
- 几何：计算平行四边形的面积或三角形的面积。
- 物理：计算力矩、角动量等。
- 计算机图形学：确定法线方向、判断点是否在平面内等。
四、叉乘与点乘的区别
| 项目 | 叉乘 | 点乘 |
| 结果类型 | 向量 | 标量 |
| 运算符号 | $\times$ | $\cdot$ |
| 方向性 | 有方向 | 无方向 |
| 应用 | 垂直方向、面积、力矩 | 角度、投影、相似性 |
通过理解向量叉乘的公式和性质，可以更深入地掌握三维空间中向量之间的关系，为后续的数学、物理及工程问题提供有力的工具。