【什么是复数的模】在数学中，复数是一个包含实部和虚部的数，通常表示为 $ z = a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位（即 $ i^2 = -1 $）。复数的“模”是描述复数大小的一个重要概念，它反映了复数在复平面上到原点的距离。
一、什么是复数的模？
复数的模（Modulus）是指一个复数在复平面上与原点之间的距离。它是一个非负实数，用来衡量复数的“大小”。模的计算公式基于勾股定理，将复数看作坐标平面上的一个点。
二、复数模的定义与计算
设复数 $ z = a + bi $，其中 $ a $ 为实部，$ b $ 为虚部，则其模为：
$$
$$
这个公式来源于直角坐标系中点 $ (a, b) $ 到原点 $ (0, 0) $ 的距离。
三、复数模的性质
| 性质 | 描述 | ||||||
| 非负性 | $ | z | \geq 0 $，且 $ | z | = 0 $ 当且仅当 $ z = 0 $ | ||
| 对称性 | $ | z | = | -z | $ | ||
| 乘法性质 | $ | z_1 \cdot z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 | $ |
| 除法性质 | $ \left | \frac{z_1}{z_2}\right | = \frac{ | z_1 | }{ | z_2 | } $（当 $ z_2 \neq 0 $） |
| 共轭关系 | $ | z | = | \overline{z} | $，其中 $ \overline{z} $ 是 $ z $ 的共轭复数 |
四、举例说明
| 复数 | 实部 $ a $ | 虚部 $ b $ | 模 $ | z | $ |
| $ 3 + 4i $ | 3 | 4 | $ \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $ | ||
| $ -2 + i $ | -2 | 1 | $ \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5} $ | ||
| $ 0 + 7i $ | 0 | 7 | $ \sqrt{0^2 + 7^2} = 7 $ | ||
| $ -5 - 12i $ | -5 | -12 | $ \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = 13 $ |
五、总结
复数的模是复数在复平面上到原点的距离，通过公式 $
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