问直线与平面所成的角

【直线与平面所成的角】在立体几何中，直线与平面所成的角是一个重要的概念，用于描述一条直线与一个平面之间的倾斜程度。这个角度可以帮助我们理解空间中不同几何元素之间的关系，常用于工程、建筑和物理等领域。

一、基本概念

- 直线：在三维空间中，可以表示为点的方向向量。

- 平面：由一个点和一个法向量确定，表示为 $Ax + By + Cz + D = 0$。

- 直线与平面所成的角：是指这条直线与其在该平面上的投影之间的夹角，通常取锐角或直角。

二、求解方法

1. 利用方向向量与法向量的关系

设直线的方向向量为 $\vec{v}$，平面的法向量为 $\vec{n}$，则直线与平面所成的角 $\theta$ 满足：

$$

\sin\theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{\vec{v}\vec{n}}

$$

2. 注意：由于直线与平面所成的角是直线与它在平面上的投影之间的夹角，因此实际角度为：

$$

\theta = \arcsin\left(\frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{\vec{v}\vec{n}}\right)

$$

三、关键知识点总结

四、典型例题解析

题目：已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{v} = (1, 2, -3)$，平面 $\pi$ 的法向量为 $\vec{n} = (2, -1, 4)$，求直线 $l$ 与平面 $\pi$ 所成的角。

解：

1. 计算点积：

$$

\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + (-3) \times 4 = 2 - 2 - 12 = -12

$$

2. 计算模长：

$$

\vec{v} = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}

$$

$$

\vec{n} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}

$$

3. 代入公式：

$$

\sin\theta = \frac{-12}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{12}{\sqrt{294}} \approx 0.708

$$

4. 求角度：

$$

\theta = \arcsin(0.708) \approx 45.2^\circ

$$

五、总结

直线与平面所成的角是立体几何中的一个重要概念，通过方向向量与法向量的计算，可以准确地求出这一角度。掌握其定义、公式及应用有助于提升空间想象能力和解决实际问题的能力。在学习过程中，应注重理解几何本质，避免单纯依赖公式套用。